在直角梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，$AB\perp BC$，$AB=2$，$CD=1$，$BC=a$，$P$ 为线段 $AD$（含端点）上的一个动点．设 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=y$，对于函数 $y=f(x)$，给出以下三个结论：
① $\forall a\in (0,+\infty)$，都有 $f(1)=1$ 成立；
② $\forall a\in (0,+\infty)$，函数 $f(x)$ 的最大值都等于 $4$；
③ 当 $a=2$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[1,4]$．
所有正确结论的序号是 ．
① $\forall a\in (0,+\infty)$，都有 $f(1)=1$ 成立；
② $\forall a\in (0,+\infty)$，函数 $f(x)$ 的最大值都等于 $4$；
③ 当 $a=2$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[1,4]$．
所有正确结论的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②
【解析】
取 $BC$ 的中点 $M$，连接 $PM$，作 $MH\perp AD$ 于 $H$，如图（需要注意随着 $a$ 的变化，垂足 $H$ 可能在腰 $AD$ 的延长线上）．
根据极化恒等式，有$$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=\left[\dfrac 12\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)\right]^2-\left[\dfrac 12\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}\right)\right]^2=PM^2-MC^2,$$下面依次看三个结论：当 $t=1$ 时，$P,D$ 重合，有$$f(1)=DM^2-MC^2=CD^2=1.$$当 $P,A$ 重合时，$PM$ 有最大值，对应 $f(x)$ 的最大值为$$f(0)=AM^2-BM^2=AB^2=4.$$所以 ①② 正确；当 $a=2$ 时，$H$ 在线段 $DP$ 上，且不与端点重合，故 $f(x)$ 的最小值为 $MH^2-MC^2<1$，③ 错误．可以计算出此时 $f(x)$ 的最小值为 $\dfrac 45$．
根据极化恒等式，有$$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=\left[\dfrac 12\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)\right]^2-\left[\dfrac 12\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}\right)\right]^2=PM^2-MC^2,$$下面依次看三个结论：当 $t=1$ 时，$P,D$ 重合，有$$f(1)=DM^2-MC^2=CD^2=1.$$当 $P,A$ 重合时，$PM$ 有最大值，对应 $f(x)$ 的最大值为$$f(0)=AM^2-BM^2=AB^2=4.$$所以 ①② 正确；当 $a=2$ 时，$H$ 在线段 $DP$ 上，且不与端点重合，故 $f(x)$ 的最小值为 $MH^2-MC^2<1$，③ 错误．可以计算出此时 $f(x)$ 的最小值为 $\dfrac 45$．
题目
答案
解析
备注
