在 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为它的三边，其中 $c$ 为斜边，且 $a+b+c=\sqrt 2(b+c)$，且三角形面积为 $2$，则其周长为 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学化学秋令营基础学业能力数学测试（回忆版）
【标注】
【答案】
$4+2\sqrt 2$
【解析】
由题意知\[a=(\sqrt 2-1)(b+c),\]又因为 $a^2=c^2-b^2$，所以有$$(c-b)(c+b)=(\sqrt 2-1)^2(b+c)^2,$$化简得到\[c=\sqrt 2b,\]于是 $a=b$，结合面积的值知\[a=b=2,c=2\sqrt 2,\]得到三角形周长为 $4+2\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
