在 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为它的三边，其中 $c$ 为斜边，且 $a+b+c=\sqrt 2(b+c)$，且三角形面积为 $2$，则其周长为 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学化学秋令营基础学业能力数学测试（回忆版）
【标注】
【答案】
$4+2\sqrt 2$
【解析】
由题意知 $(\sqrt 2+1)a=b+c$，由正弦定理知$$(\sqrt 2+1)\sin A=\sin B+\sin C,$$即\[(\sqrt 2+1)\sin A=\cos A+1,\]两边平方得$$(3+2\sqrt 2)(1-\cos^2 A)=(1+\cos A)^2,$$解得\[\cos A=\dfrac{\sqrt 2}2,\]于是\[A=B=\dfrac{\pi}4,\]进而三角形面积为\[\dfrac 12a^2=2,\]解得\[a=b=2,c=2\sqrt 2,\]于是得到三角形周长为 $4+2\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
