$\left[\dfrac 13\right]+\left[\dfrac 23\right]+\left[\dfrac{2^2}3\right]+\cdots+\left[\dfrac{2^{2017}}3\right]+1008$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学化学秋令营基础学业能力数学测试（回忆版）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2^{2018}-4}3$
【解析】
记题中代数式为 $m$，根据题意，有\[\left[\dfrac{2^n}{3}\right]=\begin{cases} \dfrac{2^n-1}3,&2\nmid n,\\
\dfrac{2^n-2}3,&2\mid n,\end{cases}\]于是\[m=\sum_{n=0}^{2017}\dfrac{2^n}3-1009+1008=\dfrac{2^{2018}-4}3.\]
\dfrac{2^n-2}3,&2\mid n,\end{cases}\]于是\[m=\sum_{n=0}^{2017}\dfrac{2^n}3-1009+1008=\dfrac{2^{2018}-4}3.\]
题目
答案
解析
备注
