已知实系数方程 $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ 无实根，设四根分别为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，且 $x_1+x_2=3+{\mathrm i}$，$x_3x_4=7+6{\mathrm i}$，则 $b$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学化学秋令营基础学业能力数学测试（回忆版）
【标注】
【答案】
$24$
【解析】
因为实系数方程的虚根成对出现，由题意不妨设 $x_3=\overline{x_1},x_4=\overline{x_2}$，于是有$$x_1x_2=\overline{x_3x_4}=7-6{\mathrm i}.$$则\begin{align*}
b
&=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\
&=x_1x_2+x_1\overline{x_1}+x_1\overline{x_2}+x_2\overline{x_1}+x_2\overline{x_2}+\overline{x_1}\overline{x_2}\\
&=x_1x_2+\overline{x_1x_2}+(x_1+x_2)\overline{(x_1+x_2)}\\
&=7+6{\mathrm i}+7-6{\mathrm i}+(3+{\mathrm i})(3-{\mathrm i})\\
&=24.
\end{align*}
b
&=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\
&=x_1x_2+x_1\overline{x_1}+x_1\overline{x_2}+x_2\overline{x_1}+x_2\overline{x_2}+\overline{x_1}\overline{x_2}\\
&=x_1x_2+\overline{x_1x_2}+(x_1+x_2)\overline{(x_1+x_2)}\\
&=7+6{\mathrm i}+7-6{\mathrm i}+(3+{\mathrm i})(3-{\mathrm i})\\
&=24.
\end{align*}
题目
答案
解析
备注
