$\dfrac{\sqrt 2\sin 35^\circ-\sin 20^\circ}{\sqrt 2\sin 85^\circ+\sin 20^\circ}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学化学秋令营基础学业能力数学测试（回忆版）
【标注】
【答案】
$2-\sqrt 3$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} \dfrac{\sqrt 2\sin 35^\circ-\sin 20^\circ}{\sqrt 2\sin 85^\circ+\sin 20^\circ}&=\dfrac{2\cos 45^\circ\sin 35^\circ-\sin 20^\circ}{2\cos 45^\circ\sin 85^\circ+\sin 20^\circ}\\&=\dfrac{\sin 80^\circ-\sin 10^\circ-\sin 20^\circ}{\sin 130^\circ+\sin 40^\circ+\sin 20^\circ}\\
&=\dfrac{2\cos50^\circ\sin 30^\circ-\sin10^\circ}{\sin 50^\circ+2\sin 30^\circ\cos 10^\circ}\\
&=\dfrac{\sin 40^\circ-\sin 10^\circ}{\sin 50^\circ+\sin 80^\circ}\\
&=\dfrac{2\cos25^\circ\sin15^\circ}{2\sin65^\circ\cos15^\circ}\\
&=\tan 15^\circ\\
&=\dfrac{1-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}\\
&=2-\sqrt 3.\end{split} \]
&=\dfrac{2\cos50^\circ\sin 30^\circ-\sin10^\circ}{\sin 50^\circ+2\sin 30^\circ\cos 10^\circ}\\
&=\dfrac{\sin 40^\circ-\sin 10^\circ}{\sin 50^\circ+\sin 80^\circ}\\
&=\dfrac{2\cos25^\circ\sin15^\circ}{2\sin65^\circ\cos15^\circ}\\
&=\tan 15^\circ\\
&=\dfrac{1-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}\\
&=2-\sqrt 3.\end{split} \]
题目
答案
解析
备注
