设 $f(x)=x^3+ax^2-x$．若 $\displaystyle \max_{|x|\leqslant 1}|f(x)|\leqslant 1$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学优秀中学生数学科学营数学试题
【标注】
【答案】
$[-1,1]$
【解析】
令 $x=\pm 1$，可得\[-1\leqslant a\leqslant 1.\]当 $a\in [-1,1]$ 时，有\[x^3-x^2-x\leqslant x^3+ax^2-x\leqslant x^3+x^2-x,\]而当 $x\in [-1,1]$ 时，有\[\begin{split} x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)\geqslant 0,\\
x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2\leqslant 0,\end{split}\]符合题意．因此实数 $a$ 的取值范围是 $[-1,1]$．
x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2\leqslant 0,\end{split}\]符合题意．因此实数 $a$ 的取值范围是 $[-1,1]$．
题目
答案
解析
备注
