设复数 $z$ 满足 $(z+z^{-1})^2=1+z+z^{-1}$，则 $z^{2016}+z^{-2016}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学优秀中学生数学科学营数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{-1\pm\sqrt 5}2$
【解析】
根据题意，可解得\[z+\dfrac 1z=\dfrac{1\pm \sqrt 5}2,\]又有\[z^2+2+z^{-2}=1+z+z^{-1},\]即\[1-z+z^2-z^3+z^4=0,\]进而\[1+z^5=0.\]进而\[z^{2016}+z^{-2016}=-z+\dfrac{1}{-z}=\dfrac{-1\pm\sqrt 5}2.\]
题目
答案
解析
备注
