已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，且 $f(x)=x\left[f'(x)-\ln x\right]$，且 $f\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=\dfrac{1}{\rm e}$，则关于 $x$ 的不等式 ${\rm e}f\left({\rm e}^x\right)<f'\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)+1$ 的解集为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-1)$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\dfrac{\ln x}x,\]于是\[\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)'=\dfrac 12\ln^2x,\]因此\[f(x)=C\cdot x+\dfrac 12x\ln^2x,\]其中 $C$ 为常数．由\[f\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=\dfrac{1}{\rm e}\]可得\[f(x)=\dfrac 12x+\dfrac 12x\ln^2x,\]因此\[f'(x)=\dfrac 12+\ln x+\dfrac 12\ln^2x,\]题中不等式即\[{\rm e}\cdot \left(\dfrac 12{\rm e}^x+\dfrac 12x^2{\rm e}^x\right)<1,\]也即\[{\rm e}^x(1+x^2)<\dfrac{2}{\rm e},\]设不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x(1+x)^2\geqslant 0,\]于是函数 $\varphi(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，注意到\[\varphi(-1)=\dfrac{2}{\rm e},\]因此原不等式的解集为 $(-\infty,-1)$．
题目
答案
解析
备注
