如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，点 $E,F$ 分别在边 $AD,BC$ 上，且 $DE=2EA$，$CF=2FB$，如果对于常数 $\lambda$，在正方形 $ABCD$ 的四条边上，有且只有 $6$ 个不同的点 $P$，使得 $\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}=\lambda$ 成立，那么 $\lambda$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(0,4)$
【解析】
我们知道极化恒等式：$$\left(\overrightarrow {PE}+\overrightarrow {PF}\right )^2-\left(\overrightarrow {PE}-\overrightarrow {PF}\right )^2=4\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}.$$记 $EF$ 的中点为 $M$，则$$\overrightarrow {PE}+\overrightarrow {PF}=2\overrightarrow {PM},$$结合以上两式知$$\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}=\overrightarrow {PM}\cdot\overrightarrow {PM}-9.$$题意即满足$$|PM|=\sqrt{9+\lambda}$$的点 $P$ 有六个，即以 $M$ 为圆心，$\sqrt{9+\lambda }$ 为半径作圆，与正方形的四边恰有六个公共点，如图：
结合图象知$$|PM|^2=9+\lambda \in(9,13),$$解得 $\lambda\in(0,4)$．
结合图象知$$|PM|^2=9+\lambda \in(9,13),$$解得 $\lambda\in(0,4)$．
题目
答案
解析
备注
