正整数 $a,b$ 满足 $1<a<b$，若关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases} y=-2x+4035,\\y=|x-1|+|x-a|+|x-b|,\end{cases}$ 有且仅有一个实数解，则 $a$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2017$
【解析】
函数 $y=|x-1|+|x-a|+|x-b|$ 的图象是四段折线，折线的分界点 $x=1,a,b$，各段折线的斜率分别为 $-3,-1,1,3$，草图如下：
一条斜率为 $-2$ 的直线与此折线只有一个公共点，所以必经过点 $(1,a+b-2)$，即$$a+b-2=-2+4035=4033,$$即 $a+b=4035$，又 $a<b$，且 $a,b$ 都是正整数，所以 $a$ 的最大值为 $\dfrac {4035-1}{2}=2017$．
一条斜率为 $-2$ 的直线与此折线只有一个公共点，所以必经过点 $(1,a+b-2)$，即$$a+b-2=-2+4035=4033,$$即 $a+b=4035$，又 $a<b$，且 $a,b$ 都是正整数，所以 $a$ 的最大值为 $\dfrac {4035-1}{2}=2017$．
题目
答案
解析
备注
