已知关于 $x$ 的方程 $a\sin x+b\cos x+c=0$ 在 $[0,2{\mathrm \pi})$ 内有两个不同的实数解 $\alpha,\beta$，其中 $a,b,c$ 均为非零常数，则 $\sin(\alpha+\beta)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$
【解析】
通过辅助角公式与三角函数的性质求解．方程可化为$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=-c,$$其中 $\tan\varphi=\dfrac ba$．于是知 $\alpha+\varphi,\beta+\varphi$ 是方程$$\sin x=-\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$的两个解，且均在区间 $[\varphi,2\pi+\varphi)$ 内．所以有$$\alpha +\varphi+\beta+\varphi=2k\pi+\pi,k\in\mathbb Z,$$所以$$\alpha +\beta=2k\pi+\pi-2\varphi,k\in\mathbb Z.$$从而有$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin{2\varphi}=\dfrac{2\tan\varphi}{1+\tan^2\varphi}=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}. $$
题目
答案
解析
备注
