对于命题 ①，由于\[f(x)={\rm e}^{-|x|}+\cos\pi x\leqslant 2,\]等号当且仅当 $x=0$ 时取得．因此函数 $f(x)$ 的最大值为 $2$；
对于命题 ②，由于 $f(x)$ 是偶函数，且在区间 $(-10,10)$ 内存在零点，于是 $f(x)$ 在 $(-10,10)$ 内的零点之和为 $0$；
对于命题 ③，显然所有非零整数均不是函数 $f(x)$ 的极值点．而 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的极大值．且有 $f(0)=2>1$．考虑到 $f(x)$ 是偶函数，接下来考虑函数 $f(x)$ 在形如 $\left(2k,2k+2\right]$（$k\in\mathbb N$）的区间内的极值点情况．设 $x=t$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，则\[-{\rm e}^{-t}-\pi\sin \pi t=0,\]如图．由于在区间 $(2k,2k+1)$ 上，有 $f'(x)<0$，又\[f'(2k+1)<0,f'\left(2k+\dfrac 32\right)>0,f'(2k+2)<0,\]因此函数 $f(x)$ 在区间 $(2k,2k+1)$ 上不存在极值点，在区间 $\left(2k+1,2k+\dfrac 32\right)$ 上存在一个极小值点，在区间 $\left(2k+\dfrac 32,2k+2\right]$ 上存在一个极大值点．又由于\[f''(x)={\rm e}^{-x}-\pi^2\cos\pi x,\]在区间 $(2k+1,2k+2]$ 上单调递减，于是函数 $f''(x)$ 在区间 $(2k+1,2k+2]$ 内至多只有一个零点，进而函数 $f'(x)$ 在区间 $(2k+1,2k+2]$ 内至多只有两个零点．因此函数 $f(x)$ 在区间 $(2k,2k+2]$（$k\in\mathbb N$）内的极大值存在且唯一．
另一方面，在每个区间 $(2k,2k+2]$（$k\in\mathbb N$）内，均存在 $x_0=2k+2$．使得\[f(x_0)={\rm e}^{-2k-2}+1>1,\]于是函数 $f(x)$ 的每个极大值都大于 $1$．