已知 $f(x)=(x^2+x)(x^2+ax+b)$ 满足对一切实数 $x$，均有 $f(x)=f(2-x)$，则函数 $f(x)$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac 94$
【解析】
函数 $f(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称，因此将 $f(x)$ 向左平移一个单位后可以得到偶函数．我们熟知一个多项式函数如果是偶函数，那么一定不包含 $x$ 的奇次项，也就是说此时这个四次函数必然为关于 $x^2$ 的二次函数．
根据题意，函数 $y=f(x+1)$ 是偶函数，而\[\begin{split} f(x+1)&=[(x+1)^2+(x+1)]\cdot [(x+1)^2+a(x+1)+b] \\ &=(x^2+2+3x)\cdot g(x),\end{split}\]其中 $g(x)$ 是一个二次项系数为 $1$ 的二次多项式．
不难得知，$g(x)=x^2+2-3x$，因此$$f(x+1)=(x^2+2)^2-(3x)^2=x^4-5x^2+4\geqslant -\dfrac 94,$$当 $x^2=\dfrac 52$ 时取得等号．
因此函数 $f(x)$ 的最小值，即函数 $f(x+1)$ 的最小值，为 $-\dfrac 94$．
根据题意，函数 $y=f(x+1)$ 是偶函数，而\[\begin{split} f(x+1)&=[(x+1)^2+(x+1)]\cdot [(x+1)^2+a(x+1)+b] \\ &=(x^2+2+3x)\cdot g(x),\end{split}\]其中 $g(x)$ 是一个二次项系数为 $1$ 的二次多项式．
不难得知，$g(x)=x^2+2-3x$，因此$$f(x+1)=(x^2+2)^2-(3x)^2=x^4-5x^2+4\geqslant -\dfrac 94,$$当 $x^2=\dfrac 52$ 时取得等号．
因此函数 $f(x)$ 的最小值，即函数 $f(x+1)$ 的最小值，为 $-\dfrac 94$．
题目
答案
解析
备注
