若实数 $x,y$ 满足方程组$$\begin{cases} x^3+\cos x+x-2=0,\\8y^3-2\cos^2 y+2y+3=0.\\\end{cases}$$则 $\cos(x+2y)$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
方程组中的两个方程形式上很类似，我们将第二个式子变形为$$(-2y)^3+\cos(-2y)+(-2y)-2=0.$$令函数$$f(t)=t^3+\cos t+t-2,$$则 $x$ 与 $-2y$ 是这个函数的两个零点（可能相同）．
而 $f(t)$ 的导函数$$f'(t)=3t^2-\sin t+1>0,$$所以函数 $f(t)$ 单调递增，最多有一个零点．从而$$x=-2y,$$所以有$$\cos(x+2y)=1.$$
而 $f(t)$ 的导函数$$f'(t)=3t^2-\sin t+1>0,$$所以函数 $f(t)$ 单调递增，最多有一个零点．从而$$x=-2y,$$所以有$$\cos(x+2y)=1.$$
题目
答案
解析
备注
