函数 $f(x)$ 的定义域是 $(0,+\infty)$，其导函数\[f'(x)=\dfrac {a+2x^2}{x}.\]情形一 $a>0$．此时 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增，且 $x_1=\min\left\{{\rm e}^{-\frac 1a},1\right\}$ 时，有\[f(x_1)\leqslant a\cdot \left(-\dfrac 1a\right)+1=0,\]且\[f(1)=1>0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点，符合题意．
情形二 $a=0$．此时 $f(x)=x^2$（$x>0$）没有零点．
情形三 $a<0$．此时\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&\left(0,\sqrt{-\dfrac a2}\right)&\sqrt{-\dfrac a2}&\left(\sqrt{-\dfrac a2},+\infty\right)\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\ \hline
f(x)&\searrow&\dfrac a2\ln\left(-\dfrac a2\right)-\dfrac a2&\nearrow\\ \hline
\end{array}\]于是当 $a=-2{\rm e}$ 时，有\[\dfrac a2\ln\left(-\dfrac a2\right)-\dfrac a2=0,\]符合题意；当 $a>-2{\rm e}$ 时，有\[f(x)>0,\]不符合题意．下面证明当 $a<-2{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 必然有 $2$ 个零点．
一方面，有\[f\left({\rm e}^{-1}\right)=-a+{\rm e}^{-2}>0,\]另一方面，有\[f(x)\geqslant a(x-1)+x^2>x(a+x),\]于是\[f(-a)>0.\]因此当 $a<-2{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{-2{\rm e}\}\cup (0,+\infty)$．