已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，$P$ 是直线 $l:x+y-4=0$ 上一点，若存在椭圆上的两点 $A,B$，使得 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，则 $P$ 点的横坐标的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{12}5,4\right)$
【解析】
对于椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）．设 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OQ}$，则\[\overrightarrow{OQ}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac 12\overrightarrow{OB},\]于是点 $Q$ 为弦 $AB$ 的中点，必然在椭圆 $E$ 内部．另一方面，当 $Q$ 在椭圆 $E$ 内时：
情形一 $Q$ 为原点，则取 $E$ 的长轴为 $AB$；
情形二 $Q$ 在坐标轴上且不为原点，则取过 $Q$ 垂直于 $OQ$ 的弦作为 $AB$；
情形三 $Q(m,n)$ 不在坐标轴上，则取过 $Q$ 斜率为 $-\dfrac{b^2m}{a^2n}$ 的弦作为 $AB$．
因此椭圆 $E$ 内的任意一点 $Q$ 均可对应符合题意的点 $P$．这就意味着当 $A,B$ 在椭圆 $E$ 上运动时，通过条件 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 确定的点 $P$ 的轨迹为\[M=\left\{(x,y)\mid \dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{4b^2}<1\right\}.\]根据题意，联立直线 $l$ 与椭圆\[E_1:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1,\]可得\[\dfrac{5x^2-32x+48}{16}=0,\]进而可解得 $P$ 点的横坐标的取值范围是 $\left(\dfrac{12}5,4\right)$．
因此椭圆 $E$ 内的任意一点 $Q$ 均可对应符合题意的点 $P$．这就意味着当 $A,B$ 在椭圆 $E$ 上运动时，通过条件 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 确定的点 $P$ 的轨迹为\[M=\left\{(x,y)\mid \dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{4b^2}<1\right\}.\]根据题意，联立直线 $l$ 与椭圆\[E_1:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1,\]可得\[\dfrac{5x^2-32x+48}{16}=0,\]进而可解得 $P$ 点的横坐标的取值范围是 $\left(\dfrac{12}5,4\right)$．
题目
答案
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