函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\begin{cases}x-3,&x\geqslant 1000,\\f\left(f(x+5)\right),&x<1000\end{cases}$，则 $f(84)$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$997$
【解析】
记 $f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，$n=1,2,\cdots$，则\[\begin{split}f(84)&=f_2(89)=f_3(94)=\cdots=f_{184}(999)\\&=f_{185}(1004)=f_{184}(1001)=f_{183}(998)\\&=f_{184}(1003)=f_{183}(1000)=f_{182}(997)\\&=f_{183}(1002)=f_{182}(999),\end{split}\]注意到$$f_{184}{(999)}=f_{182}{(999)},$$于是 $f(84)=f_2(999)$．
另一方面，注意到 $f_{184}(999)=f_{182}(997)$，于是 $f_2(999)=997$．
另一方面，注意到 $f_{184}(999)=f_{182}(997)$，于是 $f_2(999)=997$．
题目
答案
解析
备注
