若存在实数 $m,n$ 使函数 $f(x)=\sqrt{x+3}+k$ 的定义域为 $[m,n]$，值域为 $[-n,-m]$，则实数 $k$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[2,\dfrac 94\right)$
【解析】
题意即 $f(x)$ 的图象过点 $A(m,-n)$，$B(n,-m)$，而 $AB:y=x-(m+n)$，于是关于 $x$ 的方程$$\sqrt{x+3}+k=x-(m+n)$$即$$x+3=x^2-2(m+n+k)x+(m+n+k)^2$$有两个实数解 $m,n$，从而由韦达定理可得$$2(m+n+k)+1=m+n,$$于是 $m+n=-2k-1$．考虑直线 $y=x-(m+n)-k$ 与 $y=\sqrt{x+3}$ 的位置关系，可得 $-(m+n)-k$ 的取值范围是 $\left[3,\dfrac{13}4\right)$，如图：
于是 $k$ 的取值范围是 $\left[2,\dfrac 94\right)$．
于是 $k$ 的取值范围是 $\left[2,\dfrac 94\right)$．
题目
答案
解析
备注
