已知 $m,n$ 均为正整数，则 $\displaystyle \lim_{x\to \pi}\dfrac{\sin mx}{\sin nx}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-1)^{m+n}\cdot \dfrac mn$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} \lim_{x\to \pi}\dfrac{\sin mx}{\sin nx}&=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin m(x+\pi)}{\sin n(x+\pi)}\\
&=(-1)^{m+n}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin mx}{\sin nx}\\
&=(-1)^{m+n}\cdot \dfrac mn\cdot\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin mx}{mx}}{\dfrac{\sin nx}{nx}}\\
&=(-1)^{m+n}\cdot \dfrac mn.\end{split}\]
&=(-1)^{m+n}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin mx}{\sin nx}\\
&=(-1)^{m+n}\cdot \dfrac mn\cdot\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin mx}{mx}}{\dfrac{\sin nx}{nx}}\\
&=(-1)^{m+n}\cdot \dfrac mn.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
