已知函数 $f(x)=\begin{cases} -\dfrac 12x,&x>0,\\ -{\rm e}^{-x},&x\leqslant 0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=m$ 恰有两个实数解 $x_1,x_2$，则 $4x_1+x_2$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4-4\ln 2$
【解析】
函数 $f(x)$ 的图象如图．
根据题意，方程 $f(t)=m$ 在 $[-1,+\infty)$ 上有一个实数解．于是 $m\leqslant -{\rm e}$，进而 $t\leqslant -1$，两个实数解分别为 $-\ln (-t)$ 和 $-2t$．问题即求\[\varphi(t)=-4\ln (-t)-2t\]在 $(-\infty,-1]$ 上的最小值．
函数 $\varphi(t)$ 的导函数\[\varphi'(t)=-\dfrac{2t+4}{t},\]因此当 $t=-2$ 时，函数 $\varphi(t)$ 取得最小值\[\varphi(-2)=4-4\ln 2.\]此时 $m=f(-2)=-{\rm e}^2$．
根据题意，方程 $f(t)=m$ 在 $[-1,+\infty)$ 上有一个实数解．于是 $m\leqslant -{\rm e}$，进而 $t\leqslant -1$，两个实数解分别为 $-\ln (-t)$ 和 $-2t$．问题即求\[\varphi(t)=-4\ln (-t)-2t\]在 $(-\infty,-1]$ 上的最小值．函数 $\varphi(t)$ 的导函数\[\varphi'(t)=-\dfrac{2t+4}{t},\]因此当 $t=-2$ 时，函数 $\varphi(t)$ 取得最小值\[\varphi(-2)=4-4\ln 2.\]此时 $m=f(-2)=-{\rm e}^2$．
题目
答案
解析
备注
