根据题意可知 $A,B$ 均为锐角，过 $C$ 作 $AB$ 边上的垂线，垂足为 $H$．设 $AH=2+x$，$BH=2-x$，则有\[\dfrac{CH}{AH}\cdot \dfrac{CH}{BH}=\dfrac 34,\]也即\[CH=\sqrt{\dfrac 34\cdot AH\cdot HB}=\sqrt{\dfrac 34\left(4-x^2\right)}\leqslant \sqrt 3,\]因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为\[\dfrac 12\cdot 4\cdot \sqrt 3=2\sqrt 3.\]其它解法以 $AB$ 的中点为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，则 $A(-2,0),B(2,0)$，设 $C(x,y)$，因为 $A,B$ 均为锐角，所以有$$-\dfrac{y-0}{x+2}\cdot\dfrac{y-0}{x-2}=\dfrac 34,$$得到点 $C$ 在椭圆$$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$$上，从而 $\triangle ABC$ 的面积最大值为 $\dfrac 12\cdot 4\cdot\sqrt 3=2\sqrt 3$，当点 $C$ 为椭圆短轴端点时取到．