已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac 12ax^2+2bx+c$ 在区间 $(0,1)$ 上有极大值，在区间 $(1,2)$ 上有极小值，若 $(a+3)b\leqslant t$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 18,+\infty\right)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x^2+ax+2b,\]根据题意，关于 $x$ 的方程\[2x^2+ax+2b=0\]的两根分别在区间 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 上，因此\[\begin{cases} \left(2x^2+ax+2b\right)\Big|_{x=0}>0,\\ \left(2x^2+ax+2b\right)\Big|_{x=1}<0,\\
\left(2x^2+ax+2b\right)\Big|_{x=2}>0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} b>0,\\ a+2b<-2,\\ a+b>-4,\end{cases}\]也即\[-4-b<a<-2b-2,\]其中 $0<b<2$．因此\[-1-b<a+3<-2b+1,\]其上确界必然在端点处取得，为\[\max_{0<b<2}\{(-1-b)b,(-2b+1)b\}=\dfrac 18,\]当 $(a,b)\to \left(-\dfrac 52,\dfrac 14\right)$ 时取得．因此 $t$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．
\left(2x^2+ax+2b\right)\Big|_{x=2}>0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} b>0,\\ a+2b<-2,\\ a+b>-4,\end{cases}\]也即\[-4-b<a<-2b-2,\]其中 $0<b<2$．因此\[-1-b<a+3<-2b+1,\]其上确界必然在端点处取得，为\[\max_{0<b<2}\{(-1-b)b,(-2b+1)b\}=\dfrac 18,\]当 $(a,b)\to \left(-\dfrac 52,\dfrac 14\right)$ 时取得．因此 $t$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．
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