不妨设 $A\leqslant B$，于是根据题意，可设\[(A,B)=\left(\dfrac{\pi -C-x}2,\dfrac{\pi -C+x}2\right),\]其中 $0\leqslant x<C$．此时条件转化为存在 $x,C$ 满足 $0\leqslant x<C<\dfrac{\pi}2$，有\[\dfrac{1}{\sin\dfrac{C+x}2}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C-x}2}=\dfrac{2}{\cos C}.\]该方程即\[\cos^2\dfrac x2-\sin\dfrac C2\cos C\cdot \cos\dfrac x2-\cos^2\dfrac C2=0.\]根据题意，关于 $t$ 的方程\[t^2-\sin\dfrac C2\cos C\cdot t-\cos^2\dfrac C2=0\]在 $\left(\cos\dfrac C2,1\right]$ 上有实数解，因此只需要\[\left(t^2-\sin\dfrac C2\cos C\cdot t-\cos^2\dfrac C2\right)\Big|_{t=1}\geqslant 0,\]也即\[\sin\dfrac C2-\cos C\geqslant 0,\]因此可得 $C$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$，进而所求的最大值为 $\dfrac 12$．