在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 满足 $\dfrac 1{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}=\dfrac{2}{\cos C} $，则 $ \cos C$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
由均值不等式可得\[\begin{split} \dfrac{2}{\cos C}&\geqslant \dfrac{4}{\cos A+\cos B}\\
&=\dfrac{4}{2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2}\\
&\geqslant \dfrac{2}{\sin\dfrac C2},\end{split}\]于是\[\sin\dfrac C2\geqslant \cos C,\]进而 $C\geqslant \dfrac{\pi}3$，因此 $\cos C$ 的最大值为 $\dfrac 12$，当 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时取得．
&=\dfrac{4}{2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2}\\
&\geqslant \dfrac{2}{\sin\dfrac C2},\end{split}\]于是\[\sin\dfrac C2\geqslant \cos C,\]进而 $C\geqslant \dfrac{\pi}3$，因此 $\cos C$ 的最大值为 $\dfrac 12$，当 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
