根据题意，有\[(1-x-y)\overrightarrow{IA}+x\overrightarrow{IB}+y\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\]于是\[\dfrac{1-x-y}{BC}=\dfrac{x}{CA}=\dfrac{y}{AB}=\dfrac{1}{n},\]其中 $n$ 是 $\triangle ABC$ 的周长，且 $n$ 的取值范围是 $(6,10)$，于是\[x=\dfrac 3n,y=\dfrac 2n,\]从而\[m=\dfrac{12}{n},\]取值范围是 $\left(\dfrac 65,2\right)$．
其他解法由 $I$ 为内心知$$\overrightarrow{AI}=\lambda\left(\dfrac 12\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}\right),$$于是 $\dfrac xy=\dfrac 32$，从而得到$$x=\dfrac 14m,y=\dfrac 16m.$$又$$x+y=\dfrac 5{12}m=\dfrac{AI}{AT}=\dfrac{h_a-r}{h_a},$$其中 $h_a$ 表示 $BC$ 边的高，$r$ 表示 $\triangle ABC$ 的内切圆半径．另一方面$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12(2+3+a)r=\dfrac 12ah_a,$$联立得到$$m=\dfrac {12}5\cdot\dfrac 5{a+5}=\dfrac{12}{a+5},$$而 $a\in (1,5)$，所以 $m\in\left(\dfrac 65,2\right)$．