已知 $O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心，若 $A=\dfrac{\pi}3$，且 $\dfrac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow {AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$，则 $m=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3}2$
【解析】
由于\[\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac 12AB^2,\]于是有\[\dfrac{\cos B}{\sin C}\cdot AB^2+\dfrac{\cos C}{\sin B}\cdot \cos A\cdot AB\cdot AC=m\cdot AB^2,\]两边同除以 $AB^2$，应用正弦定理，可得\[\begin{split} m&=\dfrac{\cos B}{\sin C}+\dfrac{\cos C\cdot \cos A}{\sin C}\\
&=\dfrac{-\cos (A+C)+\cos C\cdot \cos A}{\sin C}\\
&=\sin A\\
&=\dfrac{\sqrt 3}2.\end{split}\]
&=\dfrac{-\cos (A+C)+\cos C\cdot \cos A}{\sin C}\\
&=\sin A\\
&=\dfrac{\sqrt 3}2.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
