已知 $f(x)=\dfrac{3+2\cos x+\sin x}{(\cos x+2)^2}$，则函数 $f(x)$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,\dfrac{25}{18}\right]$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} 3+2\cos x+\sin x&=\dfrac{\cos^2x+4\cos x+4+\sin^2x+2\sin x+1}2\\
&=\dfrac{(\cos x+2)^2+(\sin x+1)^2}2,\end{split}\]于是\[y=\dfrac 12+\dfrac 12\left(\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2}\right)^2.\]令\[t=\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2},\]则\[\sin x-t\cos x=2t-1,\]于是\[1+t^2\geqslant (2t-1)^2,\]解得\[0\leqslant t\leqslant \dfrac 43,\]进而可得所求值域为 $\left[\dfrac 12,\dfrac{25}{18}\right]$．
&=\dfrac{(\cos x+2)^2+(\sin x+1)^2}2,\end{split}\]于是\[y=\dfrac 12+\dfrac 12\left(\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2}\right)^2.\]令\[t=\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2},\]则\[\sin x-t\cos x=2t-1,\]于是\[1+t^2\geqslant (2t-1)^2,\]解得\[0\leqslant t\leqslant \dfrac 43,\]进而可得所求值域为 $\left[\dfrac 12,\dfrac{25}{18}\right]$．
题目
答案
解析
备注
