若实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，则 $3ab-3bc+2c^2$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
设\[F(a,b,c,\lambda)=3ab-3bc+2c^2+\lambda\left(a^2+b^2+c^2-1\right),\]则由拉格朗日乘数法，可得\[\begin{cases} 3b+2a\lambda=0,\\
3a-3c+2b\lambda=0 ,\\
-3b+4c+2c\lambda=0,\\
a^2+b^2+c^2-1=0,\end{cases}\]于是\[\lambda=-\dfrac{3b}{2a}=\dfrac{3c-3a}{2b}=\dfrac{3b-4c}{2c},\]进而可得\[\dfrac ba=2,\dfrac cb=-\dfrac 32,\lambda=-3.\]因此有\[3ab-3bc+2c^2-3\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=3-\dfrac 34(2a-b)^2-\dfrac 14(3b+2c)^2\leqslant 3,\]因此所求代数式的最大值为 $3$．
3a-3c+2b\lambda=0 ,\\
-3b+4c+2c\lambda=0,\\
a^2+b^2+c^2-1=0,\end{cases}\]于是\[\lambda=-\dfrac{3b}{2a}=\dfrac{3c-3a}{2b}=\dfrac{3b-4c}{2c},\]进而可得\[\dfrac ba=2,\dfrac cb=-\dfrac 32,\lambda=-3.\]因此有\[3ab-3bc+2c^2-3\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=3-\dfrac 34(2a-b)^2-\dfrac 14(3b+2c)^2\leqslant 3,\]因此所求代数式的最大值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
