题目 已知实数 $a,b$ 且 $a\in (0,1)$，函数 $ f\left(x\right)=\log _a \dfrac{1-x}{b+x}$ 为奇函数，当 $ x \in \left(-1,a\right]$ 时，函数 $ f\left(x\right)$ 的取值范围是 $ \left(-\infty,1\right]$，则 $ a+b $ 的值为<nn> </nn>． 答案 $ \sqrt 2$ 解析 由 $f(x)$ 的定义域关于原点对称可得 $b=1$，此时函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$．进而可得\[f(x)={\log_a}\dfrac{1-x}{1+x}\]在 $(-1,1)$ 上单调递增，从而\[f(a)={\log_a}\dfrac{1-a}{1+a}=1,\]解得\[a=\sqrt 2-1,\]于是\[a+b=\left(\sqrt 2-1\right)+1=\sqrt 2.\] 备注