设 $A,B$ 为抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 上相异两点，则 $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|^2-\left|\overrightarrow {AB}\right|^2$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$-4p^2$
【解析】
由极化恒等式，所求代数式即 $4\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OB}$．设 $A(2pm^2,2pm),B(2pn^2,2pn)$，则$$4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=16p^2\left[\left(mn+\dfrac 12\right)^2-\dfrac 14\right]\geqslant -4p^2.$$当且仅当 $mn=-\dfrac 12$ 时取等号．
题目
答案
解析
备注
