已知 $a,b\in\mathbb R$ 且 $0\leqslant a+b\leqslant 1$，函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上至少有一个零点，则 $a-2b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[0,1]$
【解析】
设函数 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上的零点为 $t$，记 $a+b=m$，则\[\begin{cases} t^2+at+b=0,\\ a+b=m,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} a=\dfrac{m+t^2}{1-t},\\ b=\dfrac{-mt-t^2}{1-t},\end{cases}\]于是\[a-2b=m\cdot \dfrac{1+2t}{1-t}+\dfrac{3t^2}{1-t},\]其中 $t\in\left[-\dfrac 12,0\right]$，$m\in [0,1]$．注意到右侧代数式是关于 $m$ 的一次函数．
当 $m=0$ 时，有\[a-2b=\dfrac{3t^2}{1-t},\]对应的取值范围是 $\left[0,\dfrac 12\right]$；
当 $m=1$ 时，有\[a-2b=\dfrac{3t^2+2t+1}{1-t},\]对应的取值范围是 $\left[\dfrac 12,1\right]$．
因此所求 $a-2b$ 的取值范围是 $[0,1]$．
当 $m=0$ 时，有\[a-2b=\dfrac{3t^2}{1-t},\]对应的取值范围是 $\left[0,\dfrac 12\right]$；
当 $m=1$ 时，有\[a-2b=\dfrac{3t^2+2t+1}{1-t},\]对应的取值范围是 $\left[\dfrac 12,1\right]$．
因此所求 $a-2b$ 的取值范围是 $[0,1]$．
题目
答案
解析
备注
