已知 $k$ 是实数，若对任意三角形 $ABC$，均有 $2c^2+ab\geqslant kbc$，其中 $a,b,c$ 分别是 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边长，则 $k$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2-1$
【解析】
用内切圆代换处理三边，设\[(a,b,c)=(y+z,z+x,x+y),\]其中 $x,y,z>0$，则\[\begin{split} k&\leqslant \dfrac{2(x+y)^2+(y+z)(z+x)}{(z+x)(x+y)}\\
&=\dfrac{2(x+y)}{z+x}+\dfrac{y+z}{x+y}\\
&=\dfrac{2(x+y)}{z+x}+\dfrac{z+x}{x+y}+\dfrac{y-x}{x+y},\end{split}\]当\[\begin{cases} x+z=\sqrt {2(x+y)},\\ y\to 0,\end{cases}\]时右侧代数式趋于 $2\sqrt 2-1$．因此实数 $k$ 的最大值为 $2\sqrt 2-1$．
&=\dfrac{2(x+y)}{z+x}+\dfrac{y+z}{x+y}\\
&=\dfrac{2(x+y)}{z+x}+\dfrac{z+x}{x+y}+\dfrac{y-x}{x+y},\end{split}\]当\[\begin{cases} x+z=\sqrt {2(x+y)},\\ y\to 0,\end{cases}\]时右侧代数式趋于 $2\sqrt 2-1$．因此实数 $k$ 的最大值为 $2\sqrt 2-1$．
题目
答案
解析
备注
