已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，$A$ 为定角且为锐角，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，$t$ 是正实数，则 $x+ty$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{t+1-2\sqrt t\cos A}{2\sin^2A}$
【解析】
记 $AC=b$，$AB=c$，则将 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ 的两边同时与 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 数乘得到$$\begin{cases} \dfrac 12b^2=xb^2+ybc\cos A,\\
\dfrac 12c^2=xbc\cos A+yb^2,\end{cases}$$解得\[x=\dfrac{c-b\cos A}{2c\sin^2A},y=\dfrac{b-c\cos A}{2b\sin^2A},\]于是\[x+ty=\dfrac{t+1}{2\sin^2A}-\dfrac{\cos A}{2\sin^2A}\cdot \left(\dfrac bc+t\cdot \dfrac cb\right),\]因此当 $A$ 为锐角时，有 $x+ty$（$t>0$）的最大值为\[\dfrac{t+1-2\sqrt t\cos A}{2\sin^2A};\]当 $A$ 为钝角时，有 $x+ty$（$t>0$）的最小值为\[\dfrac{t+1-2\sqrt t\cos A}{2\sin^2A}.\]
\dfrac 12c^2=xbc\cos A+yb^2,\end{cases}$$解得\[x=\dfrac{c-b\cos A}{2c\sin^2A},y=\dfrac{b-c\cos A}{2b\sin^2A},\]于是\[x+ty=\dfrac{t+1}{2\sin^2A}-\dfrac{\cos A}{2\sin^2A}\cdot \left(\dfrac bc+t\cdot \dfrac cb\right),\]因此当 $A$ 为锐角时，有 $x+ty$（$t>0$）的最大值为\[\dfrac{t+1-2\sqrt t\cos A}{2\sin^2A};\]当 $A$ 为钝角时，有 $x+ty$（$t>0$）的最小值为\[\dfrac{t+1-2\sqrt t\cos A}{2\sin^2A}.\]
题目
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解析
备注
