我们知道，若 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，则$${S_{\triangle OBC}}\overrightarrow{OA}+{S_{\triangle OAC}}\overrightarrow{OB}+{S_{\triangle OAB}}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,$$特别的，若 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，那么就有$$\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0.$$换成以 $A$ 为起点的，有$$\sin 2A\overrightarrow{AO}=\sin 2B\left({\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}} \right)+\sin 2C\left({\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}}\right),$$即$$\overrightarrow{AO}=\dfrac{\sin 2B}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\overrightarrow{AC}.$$于是$$\alpha+\beta=\dfrac{\sin 2B+\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}=\dfrac{1}{{\dfrac{\sin 2A}{\sin 2B+\sin 2C}+1}}.$$注意到 $\sin 2A$ 为定值，于是当 $\sin 2B+\sin 2C$ 取得最大值时 $\alpha+\beta$ 最大．而$$\sin 2B+\sin 2C\leqslant 2\sin\left({\dfrac{2B+2C}{2}}\right)=2\sin A.$$因此 $\alpha+\beta$ 的最大值为$$\dfrac{1}{{\dfrac{\sin 2A}{2\sin A}+1}}=\dfrac{1}{\cos A+1}.$$