圆上四点依次为 $A,B,C,D$，且 $AB=BC=3$，$CD=5$，$DA=8$，则圆的半径为 ．
【难度】
【出处】
2014年南开大学自主招生试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$\dfrac{7\sqrt 3}3$
【解析】
连接 $BD$，则在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中分别应用余弦定理，可得\[\begin{cases} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A,\\
BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos C,\end{cases}\]又 $A,C$ 互补，因此\[\begin{cases} BD^2=73-48\cos A,\\ BD^2=34+30\cos A,\end{cases}\]解得\[BD=7,\cos A=\dfrac 12,\]于是根据正弦定理，所求圆的半径为\[\dfrac 12\cdot \dfrac{BD}{\sin A}=\dfrac{7\sqrt 3}3.\]
BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos C,\end{cases}\]又 $A,C$ 互补，因此\[\begin{cases} BD^2=73-48\cos A,\\ BD^2=34+30\cos A,\end{cases}\]解得\[BD=7,\cos A=\dfrac 12,\]于是根据正弦定理，所求圆的半径为\[\dfrac 12\cdot \dfrac{BD}{\sin A}=\dfrac{7\sqrt 3}3.\]
题目
答案
解析
备注
