设 $f\left(x\right)=\ln x$，$0<a<b$，若 $p=f\left(\sqrt {ab}\right)$，$q=f\left(\dfrac {a+b}{2}\right)$，$r=\dfrac 12\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)\right)$，则下列关系式中正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考陕西卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
将 $f(x)=\ln x$ 代入即可比较出 $p$ 和 $r$．然后利用均值定理比较出 $\dfrac {a+b}2$ 和 $\sqrt {ab}$，继而通过 $f(x)$ 的单调性比较出 $f\left(\dfrac {a+b}2\right)$ 和 $f(\sqrt {ab})$．因为 $r= \dfrac 12\left(\ln a+\ln b\right)=\ln {\sqrt{ab}} $，所以 $p=r$．根据均值不等式可得 $ \sqrt {ab}<\dfrac {a+b}{2}$，又 $f\left(x\right)=\ln x$ 是定义域上的增函数，所以 $\ln {\sqrt {ab}}<\ln {\dfrac {a+b}2}$，即 $p=r<q$．
题目
答案
解析
备注
