已知直线 $l_1$ 和 $l_2$ 是经过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的中心 $O$ 且互相垂直的两条直线，分别交椭圆于 $A,C$ 和 $B,D$，则四边形 $ABCD$ 的面积的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},2ab\right]$
【解析】
根据题意，设 $A(\theta:m)$，$B\left(\theta+\dfrac{\pi}2:n\right)$，则四边形 $ABCD$ 的面积\[S=4\cdot \triangle OAB=2mn.\]又\[\begin{cases} \dfrac{(m\cos\theta)^2}{a^2}+\dfrac{(m\sin\theta)^2}{b^2}=1,\\
\dfrac {\left[n\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{a^2}+\dfrac {\left[n\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{b^2}=1,\end{cases}\]于是\[\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2},\]其中 $m,n\in [b,a]$．因此\[\begin{split} S&=2mn\cdot \left(\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}\right)\cdot \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\\
&=\dfrac{2a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot \left(\dfrac nm+\dfrac mn\right)
,\end{split}\]因此 $S$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},2ab\right]$．
\dfrac {\left[n\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{a^2}+\dfrac {\left[n\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{b^2}=1,\end{cases}\]于是\[\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2},\]其中 $m,n\in [b,a]$．因此\[\begin{split} S&=2mn\cdot \left(\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}\right)\cdot \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\\
&=\dfrac{2a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot \left(\dfrac nm+\dfrac mn\right)
,\end{split}\]因此 $S$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},2ab\right]$．
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