已知直线 $l_1$ 和 $l_2$ 是经过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的中心 $O$ 且互相垂直的两条直线，分别交椭圆于 $A,C$ 和 $B,D$，则四边形 $ABCD$ 的面积的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},2ab\right]$
【解析】
根据题意，设直线 $l_1$ 的斜率为 $k$，直线 $l_2$ 的斜率为 $-\dfrac 1k$，则\[AC=\sqrt{1+k^2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}}},\]于是\[BD=\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2k^2}}},\]因此四边形 $ABCD$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12 \cdot AC\cdot BD\\
&=\dfrac{4a^2b^2(1+k^2)}{\sqrt{\left(b^2+a^2k^2\right)\left(a^2+b^2k^2\right)}},\end{split}\]一方面，根据均值不等式，有\[\dfrac{a^2b^2(1+k^2)}{\sqrt{\left(b^2+a^2k^2\right)\left(a^2+b^2k^2\right)}}\geqslant \dfrac{4a^2b^2(1+k^2)}{\dfrac{(b^2+a^2k^2)+(a^2+b^2k^2)}2}=\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},\]等号当 $k^2=1$ 时取得．
另一方面，有\[\dfrac{4a^2b^2(1+k^2)}{\sqrt{\left(b^2+a^2k^2\right)\left(a^2+b^2k^2\right)}}=2ab\cdot \sqrt{\dfrac{k^4+2k^2+1}{k^4+\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\right)k^2+1}}<2ab,\]当 $k^2\to +\infty$ 时，$S\to 2ab$．
因此所求四边形 $ABCD$ 面积的取值范围是 $\left[\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},2ab\right]$．
&=\dfrac{4a^2b^2(1+k^2)}{\sqrt{\left(b^2+a^2k^2\right)\left(a^2+b^2k^2\right)}},\end{split}\]一方面，根据均值不等式，有\[\dfrac{a^2b^2(1+k^2)}{\sqrt{\left(b^2+a^2k^2\right)\left(a^2+b^2k^2\right)}}\geqslant \dfrac{4a^2b^2(1+k^2)}{\dfrac{(b^2+a^2k^2)+(a^2+b^2k^2)}2}=\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},\]等号当 $k^2=1$ 时取得．
另一方面，有\[\dfrac{4a^2b^2(1+k^2)}{\sqrt{\left(b^2+a^2k^2\right)\left(a^2+b^2k^2\right)}}=2ab\cdot \sqrt{\dfrac{k^4+2k^2+1}{k^4+\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\right)k^2+1}}<2ab,\]当 $k^2\to +\infty$ 时，$S\to 2ab$．
因此所求四边形 $ABCD$ 面积的取值范围是 $\left[\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2},2ab\right]$．
题目
答案
解析
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