待定系数\[\begin{split} a^2+b^2+c^2&=a^2+\lambda c^2+b^2+\mu c^2\\
&\geqslant 2\sqrt{\lambda} ac+2\sqrt{\mu}bc,\end{split}\]满足\[\begin{cases} \lambda+\mu =1,\\ \sqrt{\lambda}:\sqrt{\mu}=1:2,\end{cases}\]于是 $\lambda=\dfrac 15$，$\mu=\dfrac 45$，有\[\begin{split}\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+5}{2bc+ac}&\geqslant \dfrac{\left[\dfrac 2{\sqrt 5}\cdot (ac+2bc)\right]^2+5}{ac+2bc}\\
&=\dfrac 45(ac+2bc)+\dfrac{5}{ac+2bc}\\
&\geqslant 4,\end{split}\]等号当\[a=\dfrac{1}{\sqrt 5}c,b=\dfrac{2}{\sqrt 5}c,ac+2bc=\dfrac 52\]时取得．因此所求的最小值为 $4$．