根据题意有\[B=\{x\mid f(x)\in A\}\cap A,\]由于 $A=B$，因此\[A\subseteq \{x\mid f(x)\in A\},\]问题等价于函数 $f(x)$ 的图象在 $y=x$ 以下的部分为等值区间（即自变量的变化范围与对应函数值的取值区间相同）．
情形一 $a\leqslant 0$．此时方程 $f(x)=x$ 有唯一实数解，记为 $x_1$，则 $A=[x_1,+\infty)$，而 $f(x)$ 单调递减，不符合题意．
情形三 $a>0$．此时考虑方程\[ax^2+\dfrac 3x=x,\]即\[a=\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^3},\]因此当 $0<a\leqslant \dfrac 29$ 时 $A$ 不为空集，且此时\[A=\{x\mid x_1\leqslant x\leqslant x_2\},\]其中 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $f(x)=x$ 的两个根．考虑到函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt[3]{\dfrac{3}{2a}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt[3]{\dfrac{3}{2a}},+\infty\right)$ 上单调递增，因此问题转化为\[x_1\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{3}{2a}},\]考虑到方程\[f\left(\sqrt[3]{\dfrac{3}{2a}}\right)=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2a}}\]的解为\[a=\dfrac{\sqrt 2}9,\]因此所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 2}9,\dfrac 29\right]$．