根据题意，有\[\begin{cases} a>0,\\ 1\leqslant -\dfrac{b}{2a}\leqslant 2,\end{cases}\]因此函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，从而\[\begin{cases} a-b+c\leqslant 1,\\ a+b+c\geqslant -1,\end{cases}\]且函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的最小值为\[f\left(-\dfrac b{2a}\right)=c-\dfrac{b^2}{4a}.\]设\[\begin{cases} m=a-b+c,\\ n=a+b+c,\\ p=-\dfrac{b}{2a},\end{cases}\]则有\[\left(a,b,c\right)=\left(\dfrac{m-n}{4p},\dfrac{n-m}2,\dfrac{m+n}2-\dfrac{m-n}{4p}\right),\]其中 $m\leqslant 1$，$n\geqslant -1$，$1\leqslant p\leqslant 2$，$m-n>0$．这样就有\[\begin{split} c-\dfrac{b}{4a^2}&=\dfrac{m+n}2-\dfrac{m-n}{4p}+p\cdot\dfrac{n-m}4\\
&=\dfrac{m+n}2-\dfrac{m-n}4\left(p+\dfrac 1p\right)\\
&\geqslant \dfrac {m+n}2-\dfrac{m-n}4\cdot \left(2+\dfrac 12\right)\\
&=\dfrac{-m+9n}{8}\\
&\geqslant -\dfrac 54,\end{split}\]等号当 $(m,n,p)=(1,-1,2)$ 时取得，因此所求的最小值为 $-\dfrac 54$．