过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>1$）的焦点作互相垂直的两条弦 $AB,CD$，则四边形 $ACBD$ 的面积的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{8a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2},2b^2\right]$
【解析】
记椭圆的半焦距为 $c$，设 ${l_1},{l_2}$ 与焦点连线所成角分别为 $\theta ,\theta + \dfrac{{{\pi }}}{2}$，其中 $\theta \in \left[ {0,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$，则根据焦点弦长公式，四边形 $ACBD$ 的面积\[\begin{split}S&=\dfrac 12\cdot AC\cdot BD\\
&=\dfrac 12\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta}\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}\\
&=\dfrac{2a^2b^4}{\left(b^2+c^2\sin^2\theta\right)\left(b^2+c^2\cos^2\theta\right)}\\
&=\dfrac{8a^2b^4}{4b^4+4b^2c^2+c^4\sin^2\theta},\end{split}\]于是所求面积的取值范围是 $\left[\dfrac{8a^2b^4}{\left(a^2+b^2\right)^2},2b^2\right]$．
&=\dfrac 12\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta}\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}\\
&=\dfrac{2a^2b^4}{\left(b^2+c^2\sin^2\theta\right)\left(b^2+c^2\cos^2\theta\right)}\\
&=\dfrac{8a^2b^4}{4b^4+4b^2c^2+c^4\sin^2\theta},\end{split}\]于是所求面积的取值范围是 $\left[\dfrac{8a^2b^4}{\left(a^2+b^2\right)^2},2b^2\right]$．
题目
答案
解析
备注
