已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 是三个非零向量，且 $\left|\overrightarrow a\right|=m$，$\left|\overrightarrow b\right|=n$，$\left|\overrightarrow c\right|=p$，其中 $m\geqslant n>p$．若 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则 $\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|$ 的取值范围是 ，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{m^2+n^2-p^2}-p,\sqrt{m^2+n^2-p^2}+p\right]$；$\left[-p\sqrt{m^2+n^2-p^2},p\sqrt{m^2+n^2-p^2}\right]$
【解析】
根据题意，$A,B$ 分别以原点 $O$ 圆心，半径分别为 $m,n$ 的两个圆上的点，$C$ 是一定点，且 $OC=p$，$AC\perp BC$．作矩形 $ACBD$，则根据矩形的性质，有\[OA^2+OB^2=OC^2+OD^2,\]于是有\[OD=\sqrt{m^2+n^2-p^2}\]为定值．进而\[\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=AB=CD,\]其取值范围为\[\left[\sqrt{m^2+n^2-p^2}-p,\sqrt{m^2+n^2-p^2}+p\right],\]又\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac{\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2-\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2}2,\]于是 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是\[\left[-p\sqrt{m^2+n^2-p^2},p\sqrt{m^2+n^2-p^2}\right].\]
题目
答案
解析
备注
