已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 是三个非零向量，且 $\left|\overrightarrow a\right|=m$，$\left|\overrightarrow b\right|=n$，$\left|\overrightarrow c\right|=p$，其中 $m\geqslant n>p$．若 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则 $\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|$ 的取值范围是 ，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{m^2+n^2-p^2}-p,\sqrt{m^2+n^2-p^2}+p\right]$；$\left[-p\sqrt{m^2+n^2-p^2},p\sqrt{m^2+n^2-p^2}\right]$
【解析】
根据题意，有\[\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c=p^2+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b,\]设 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b =x$，则\[\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=\sqrt{m^2+n^2+2x},\]因此\[-1\leqslant \dfrac{p^2+x}{\sqrt{m^2+n^2+2x}}\leqslant 1,\]解得\[-p\sqrt{m^2+n^2-p^2}\leqslant x\leqslant p\sqrt{m^2+n^2-p^2}.\]进而\[\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=\sqrt{m^2+n^2-2x},\]其取值范围是\[\left[\sqrt{m^2+n^2-p^2}-p,\sqrt{m^2+n^2-p^2}+p\right].\]
题目
答案
解析
备注
