若向量 $\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ 垂直于向量 $7\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$，并且向量 $\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$ 垂直于向量 $7\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$，则向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{3}$
【解析】
依题意得$$\begin{cases}\left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(7\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\right)=0,\\ \left(\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(7\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)=0,\end{cases}$$从而有$$\left|\overrightarrow{a}\right|^2=\left|\overrightarrow{b}\right|^2=2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},$$所以$$cos\left\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right\rangle=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac12,$$因此夹角为 $\dfrac{\pi}{3}$．
题目
答案
解析
备注
