如图，$C$ 为 $\odot O$ 直径 $AB$ 上一动点，过点 $C$ 的直线交 $\odot O$ 于 $D$、$ E $ 两点，且 $\angle ACD=45^\circ$，$DF\perp AB$ 于点 $F$，$ EG\perp AB $ 于点 $ G $，当点 $ C $ 在 $ AB $ 上运动时，设 $ AF=x $，$ DE=y $，
下列图象中，能表示 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式的图象大致是 ．
下列图象中，能表示 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式的图象大致是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$f_1(x)$
【解析】
当 $F$ 从 $A$ 点出发时，显然有 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大，因此只有 $f_1(x)$ 符合题意．（也可以观察当 $C$ 位于圆心 $O$ 处时 $y$ 取得最大值，于是函数有最大值，只有 $f_1(x)$ 符合题意．）
因此这是一个“10秒钟解决”的选择压轴题，但之所以能够“10秒钟解决”并不是因为我们的解法精妙，而是题目实在太和谐了．于是我们尝试修复这个BUG：
选项升级
定性分析
可以确定函数的最大值点在定义域中点的左侧，因此选择 $f_1(x)$．
精确计算
不妨设圆的半径为 $1$，则可以计算得\[y=\sqrt 2\cdot\sqrt{x(2-x)}+\sqrt 2\left(1-x\right),\]于是令\[t=\sqrt{x(2-x)}-x,\]则有\[2x^2+2(t-1)x+t^2=0,\]于是\[\Delta=4(t-1)^2-8t^2\geqslant 0,\]解得\[-1-\sqrt 2\leqslant t\leqslant -1+\sqrt 2,\]进而可得当 $x=1-\dfrac{\sqrt 2}2$ 时，$t$ 取得最大值 $-1+\sqrt 2$．因为\[y=\sqrt 2\cdot\left(t+1\right),\]所以得到 $y$ 的最大值为 $2$，当 $x=1-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ 时取得．
因此这是一个“10秒钟解决”的选择压轴题，但之所以能够“10秒钟解决”并不是因为我们的解法精妙，而是题目实在太和谐了．于是我们尝试修复这个BUG：
选项升级
可以确定函数的最大值点在定义域中点的左侧，因此选择 $f_1(x)$．
不妨设圆的半径为 $1$，则可以计算得\[y=\sqrt 2\cdot\sqrt{x(2-x)}+\sqrt 2\left(1-x\right),\]于是令\[t=\sqrt{x(2-x)}-x,\]则有\[2x^2+2(t-1)x+t^2=0,\]于是\[\Delta=4(t-1)^2-8t^2\geqslant 0,\]解得\[-1-\sqrt 2\leqslant t\leqslant -1+\sqrt 2,\]进而可得当 $x=1-\dfrac{\sqrt 2}2$ 时，$t$ 取得最大值 $-1+\sqrt 2$．因为\[y=\sqrt 2\cdot\left(t+1\right),\]所以得到 $y$ 的最大值为 $2$，当 $x=1-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
