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已知 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC} $，${\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}=\dfrac 1t$，${\left|{\overrightarrow{AC}}\right|}=t$．若点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面内的一点．且 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\dfrac{4\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}$，则 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于 \((\qquad)\)
A: $13$
B: $15$
C: $ 19$
D: $21$
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    高中视角下的解析几何
    >
    平面向量与平面直角坐标系
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 题型
    >
    向量
【答案】
A
【解析】
根据题意，以 $A$ 为原点，建立平面直角坐标系，表示出各点坐标及所需向量，最后结合均值求出最大值．因为 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC} $，所以可以 $ A $ 为原点，$ AB,AC $ 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设 $ B\left(0,\dfrac 1t\right) $，$ C\left(t,0\right) $，则\[\overrightarrow{AP}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{\left(0,\frac 1t \right)}{\frac 1t }+\dfrac {4\left(t,0\right)}t\overset{\left[b\right]}=\left(4,1\right),\]（推导中用到[a]，[b]）
故点 $ P $ 的坐标为 $ \left(4,1\right) $，因此\[\begin{split}\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}&\overset{\left[a\right]}=\left(-4,\dfrac 1t-1\right)\cdot\left(t-4,-1\right)\\&=-\left(4t+\dfrac1t\right)+17\\ &\overset{\left[b\right]}\leqslant-2\sqrt4+17=13.\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）
当且仅当 $4t=\dfrac1t$，即 $t=\dfrac12$ 时取得最大值 $13$．
题目 答案 解析 备注
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