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已知 $\left(1+x\right)^n$ 的展开式中第 $4$ 项与第 $8$ 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 \((\qquad)\)
A: $2^9$
B: $2^{10}$
C: $2^{11}$
D: $2^{12}$
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    计数中的常用知识
    >
    二项式定理
  • 题型
    >
    计数与概率
【答案】
A
【解析】
本题考查二项式定理，注意奇数项的二项式系数和为 $2^{n-1}$．由题意知 ${\mathrm{C}}_n^3={\mathrm{C}}_n^7$，得 $n=10$．
由二项展开式中的赋值法可知，展开式的奇数项的二项式系数和为 $2^{n-1}=2^9$．
题目 答案 解析 备注
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