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设 $X\sim N\left(\mu_1,\sigma_1^2\right)$，$Y\sim N\left(\mu_2,\sigma_2^2\right)$，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 \((\qquad)\)
A: $P\left(Y\geqslant \mu_2\right)\geqslant P\left(Y\geqslant \mu_1\right)$
B: $P\left(X\leqslant \sigma_2\right)\leqslant P\left(X\leqslant \sigma_1\right)$
C: 对任意正数 $t$，$P\left(X\geqslant t\right)\geqslant P\left(Y\geqslant t\right)$
D: 对任意正数 $t$，$P\left(X\leqslant t\right)\geqslant P\left(Y\leqslant t\right)$
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    连续型随机变量
    >
    正态分布
  • 题型
    >
    计数与概率
【答案】
D
【解析】
这是一道正态分布的问题．正态分布 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$，其参数在密度曲线上的含义为 $\mu$ 表示曲线的对称轴，$\sigma^2$ 反应了曲线的（向对称轴）集中程度，而且对称轴两侧曲线与横轴围成的面积都是 $\dfrac 12$．由图象可知，$\mu_1<\mu_2$，$\sigma_1<\sigma_2$．
因为 $\mu_1<\mu_2$，所以 $P\left(Y\geqslant \mu_2\right)< P\left(Y\geqslant \mu_1\right)$，A错误；
因为 $\sigma_1<\sigma_2$，所以 $P\left(X\leqslant \sigma_2\right)> P\left(X\leqslant \sigma_1\right)$，B错误；
结合图象可知，对任意正数 $t$，$P\left(X\leqslant t\right)\geqslant P\left(Y\leqslant t\right)$，所以C错误，D正确．
题目 答案 解析 备注
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